Problème d'envoi de courriels - SMTP

Voici le descriptif du problème SMTP:
Pour utiliser la fonction mail() de PHP sur mon serveur dédié Debian, j'ai décidé de mettre en place la solution SSMTP pour envoyer mes mails sur le SMTP de Gmail, ou Amen.fr (compte mail du nom de domaine).
Pour ce faire, j'ai installé SSMTP, vérifié que celui ci était bien installé et qu'il était prioritaire sur l'envoi de mails.
Il est configuré comme la plupart des tutoriels disponibles sur internet, cependant le serveur n'arrive pas à se connecter en TLS sur ces différents serveurs via le port 587.
Un "telnet smtp.gmail.com 587" ou du SMTP de mon adresse mail Amen.fr ne donne rien, impossible de s'y connecter alors que le ping fonctionne très bien.
Mon PHP.ini est aussi bien configuré, pointant sur le dossier contenant SSMPT.
J'aurais voulu avoir l'aide d'un expert en réseau pour corriger ce petit problème et de sécuriser au maximum cette partie SSMTP.

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